高中数学教学随笔

例说应用三角代换证明不等式的方法与技巧

上海市第五十四中学(邮编200030)  裴华明

关于不等式的证明问题，是中学数学中的难点之一，其主要原因在于，有关不等式证明的题目灵活多变，没有固定的模式可循。但是，对于某些类型的不等式，只要通过认真观察、分析，还是可以找到他们的共同点的。而可利用三角代换来证明的就是其中的一类，本文就利用实例来谈谈对于这类问题证明的方法与技巧。仅供参考。

一、如果条件中有，可作代换，。

例1、已知：，求证：。

证明：设，，则

                   。

例2、已知：，求证：。

证明：设，，，，则

，

故    。

二、如果条件中有，可作代换，。

例3、已知：，且，求证：。

证明：令，，则

。

三、如果条件中有，可作代换，。

例4、已知：，，求证：。

证明：设，，，，则

。

四、如果条件中有，可作代换。

例5、已知：，求证：。

证明：设，则

                  。

例6、已知：，求证：。

证明：设，则

                  ，

又 ，

故    。

五、如果条件中有，可作代换，（或，。

例7、已知，求证：。

证明：设，，则

                       。

六、如果条件中有，则可作代换，。

例8、在中，，求证：。

证明：设，，且，则

。

假设中阳光很好的下午

如果那个下午他稍微留点心，他一定能够记得那天下午有着不错的阳光。

如果他曾经下楼，他一定会把一只脚踩在楼房的影子里，而让另一只脚在阳光的照耀下，激情四射地走。

但他仿佛失忆一般，在沙发中间埋了小半天了，还在试图从头到尾将那个下午回忆起来，但连一点细节都想不起来。

他简直有点恼了。性格不好的人都这样，三十多岁的人也都这样，干什么事都想干个彻底，否则就无名地恼火。更年期？老年综合症？好象还很遥远。但他确实想不起来关于那个下午的那些细节了。

譬如，他是怎么从电脑前站起来（千万别再追问电脑朝向那里、打开的是那个网站之类的问题）、换了哪双鞋、用哪只手拧开的门、怎么下的楼梯，然后又是怎么一只脚踏着秋天明亮的阳光、另一只脚却踩着楼房严肃的影子……

而且，更要命的是，那天有这些事吗？譬如，阳光？

如果假设一下呢？譬如那天的日期假设是10月26日，天气晴朗，秋高气爽，碧空如洗。从中午到下午了，他坐在电脑前，看新闻，看美丽的东西（美丽的风景和美丽的女人之类的美丽的一切）和网络聊天。

新闻是什么就无关紧要了，美丽的东西也太多了，忘了也无妨。希望你别提反对意见，这些年你见过的美丽的东西还少吗？但你记住了多少？完全可以假设那天下午最关键的就是那场聊天。

他是男的，那么聊天的对象最好假设是女的。但网络不区分性别，没有人能肯定那天和他聊天的真是一个女人，但可以假设真的是一个女人在网络那头朝他发来一些暧昧的文字。

网络未必就是充满色情的地方，但一定是充满暧昧的地方。在一次假设里，任何人都可以被铺天盖地的暧昧烘得全身懒洋洋的。

回到那场假设中的聊天中去吧。但他很快就发现，聊天很无聊，聊天能聊什么啊？

假设他真是这样想的，那么后来的细节就可以继续了：他关了电脑，站起身，然后换鞋，开门，下楼。

楼下正是阳光灿烂，秋天的下午，你知道，阳光一向很好很暧昧的。于是他一只脚踩在了刚刚走出的楼房的影子里，一只脚则在很好很暧昧的秋天的下午的阳光中一直走过去。

这样的假设，似乎很好很暧昧，但它的可信度几乎为零，像他这么一个三十多岁，老想着更年期和老年综合症的、过分敏感的人，这种假设的可信度绝对是在冰点以下。

那么，模拟一下如何呢？好，不再想着那个下午了，现在是10月13日的晚上，主角是把他换成你了，你在办公室，快十二点了，夜仿佛是晴朗的（之所以说仿佛是晴朗的，是因为没下雨，但是也没看到太阳），你坐在电脑前，有新闻，没看到什么美丽的东西，你打开QQ，没有貌似女人的网友在线；你看了看留言，真实无比，一点也不暧昧。这篇文章马上就要结束了，你当然会关掉电脑，然后从电脑前站起来，然后拧开门，走下楼，然后两只脚都走在夜的影子里，一直朝前。

是的，马上就要走下去，在无边无际的夜的影子里，一直朝前，这才是你将要做的，也许这也正是他所相信的。

巴柳的秋天

巴柳是一棵很普通的垂柳，低眉顺眼地立在栅栏边。

巴柳是我给它取的名字，原本叫做“疤柳”，但叫它“疤柳”容易勾起它的心事，所以就叫做巴柳了。

巴柳很小的时候来到栅栏边，靠呼吸夜的潮湿的空气，啜饮清凉的露水活了下来。刚长成那阵儿，巴柳的枝条十分顺滑，成天长袖曳地，柔软的腰肢在风中摆来摆去，婀娜多姿，完全一副无忧无虑的幸福样。

远远望去，就象一缕缕舒缓有度的翠绿的心情，既染了你的眼，也染了你的心情。

那时，常常有一些小孩在巴柳撒下的绿荫里玩耍，巴柳常常故意用柔软的柳枝轻拂孩子们嫩嫩的脸蛋，惹得他们哈哈大笑。

夜晚降临的时候，要么会有一对情侣倚在树干上，喃喃地说着情话；但巴柳都装作没听见，它会转过头去看月亮，看月亮披着薄薄的云，静静地悬挂在天边；要么会有一些鸣虫飞来，唱着娓娓动听的夜的歌，让巴柳听得如痴如醉，那时它会兴奋地甩着袖子，让夜的风把这歌声传出很远很远。

更有一些聪明的小孩折下一段柳枝，做成柳笛，一路吹去了，把巴柳的快乐吹遍了院内外。

偶尔下场大雨了，院子里积水了，巴柳还能临水照影，看着蓝天白云和自己曼妙的舞姿，一起在水中轻轻摇晃，巴柳能陶醉好久好久，直到积水慢慢地洇入地下。

慢慢地，巴柳就长大了，它的腰有一合手粗了。随之，一些莫名的惆怅也慢慢地洇透全身了，巴柳开始多愁善感了，巴柳开始有小心思了。那些雨水干了又积，积了又干的季节开始慢慢地折磨巴柳了。

巴柳开始喜欢看云卷云舒，看风把一些细草卷入空中，再慢慢地落下，看一些老迈的虫子再也不肯钻出洞穴振翅歌唱。

巴柳的心思越来越重了。

慢慢地，巴柳的心思拧成了一些巨大的疤结，布满了巴柳修长的身躯。

当你来到巴柳身边的时候，那正是秋天的傍晚。你摸着巴柳的疤，你梳理着巴柳的枝条，你呆呆地看着夕阳把巴柳的叶子染成黄色的了，然后一片一片地落下来，落在巴柳曾经临水照影的地方。

你仿佛看到那些叶片落下的时候，激起了一圈圈的涟漪；巴柳那曼妙的舞姿，一圈圈地荡漾开去……

当你发出的最后一声轻轻的叹息，也如这影子一般荡漾开去的时候，巴柳知道，它的秋天来了。

谁在你的头上拉屎了？

又喝多了，晚上和领导一起出去喝酒，人家做东，但人家级别高于我们领导，管着咱们单位，还给咱们单位办成了好多事，人家年龄既长，却还和蔼可亲，喝酒既主动还爽快，半杯酒总是一饮而尽。

所以，我就喝多了，回来吐得稀里哗啦。女儿说，比拉屎还恶心！唉，本来造物有序，那是进出有道的，没办法，都搞混了。

在这个嗜酒成性的小城市，喝酒就象在践行一条法律原则，那就是“谁主张谁举证”。你说你够朋友，请“举”以为证；你说你尊敬领导，请“举”以为证；你说你关心同事，请“举”以为证；你说你高兴，你说你伤心，你说今天天气不错，……，请“举”以为证！

有人强迫你吗？人家领导说了，我干了，你随意！人家那位朋友说了，初次见面，我喝完，你随意！

还真没人逼着你多喝酒呐！

那是你愿意喝多的吗？

说言不由衷的话，做身不由己的事，这好象是现代人们普遍的立身法则，成了堕落、卑劣的护身符。旅游的时候，看到山坳里露出一角茅草屋，屋下有山泉叮咚，屋后有山花烂漫，屋中有老汉怡然自得，故众人皆极羡慕，说，我若在此住下，那多惬意！是啊，城市里高楼林立，空气污浊，假货泛滥，人心唯危，……，一句话，真不是人呆的地方！

但是，谁又强迫你一定要呆在城市里面呢？谁强迫呼吸那污浊的空气了？想听潺潺的流水声吗？请到洗手间去，你听，哗哗啦啦的水声。可是，我得提醒你，那只是楼上有人拉屎的声音。

而且，好象没有谁动用权力要往你的头上拉屎，都是你情愿的，你每天数次心甘情愿地钻到人家的坐便器下面，听人家一边吹着口哨，一边往你头顶的方向挤下一坨坨的排泄物。

是啊，你是没办法。你每天必须吸入大量污浊的空气，你每天必须小心地与各种人周旋，你必须开着小汽车去健身所，你必须身陷各种谣言，你必须知道物价上涨和股市下跌，你必须认识谢亚龙，你必须GOOGLE、QQ和E-MAIL……

但都是你情愿的，城市从来不曾强迫你接受它。所以，如果有一天，你实在忍不住了要问：是谁在头上拉屎？那我要告诉你，那是因为你在仰望着城市的！

简易逻辑中一个值得商榷的问题

在普通高中课程标准实验教科书北师大版和人教A版关于《简易逻辑》的教学内容中，分别有关于“x>1”和“x>15”是否是命题的讨论，两本书都明确指出，由于无法判断真假，所以它们都不是命题。

类似的说法还有很多，比如：2n+1是奇数。但几乎所有的参考资料均认为“2n+1是奇数。”是假命题，给出的理由是：如果不限定n的范围，2n+1就可能不是奇数，甚至变成偶数。

但实际上，“x>1”和“2n+1是奇数”有什么区别呢？

这里，我们暂不讨论这种说法正确与否，先看下面的说法：任意实数x，都有x>1。很显然，这个语句是可以判断真假的，所以这个语句是一个命题。

那么，“x>1”和“任意实数x，都有x>1”是什么关系呢？

在学习《简易逻辑》的时候，数集还没有扩充到复数集，数集的全集是实数集，因此，我们说，“x>1”和“任意实数x，都有x>1”是等价的，后者是命题，前者也是命题，也就是说“x>1”本质上是一个全称命题。同样地，“2n+1是奇数”本质上也是全称命题“对任意实数n，2n+1是奇数”，所以我们说它是一个命题而且是一个假命题。

到此，有人可能要提出，“x>1”中的x要是代表的不是实数呢，比如某个物体，或者干脆就是一个纯粹的字母？

这种反诘貌似有理，实为诡辩，当科学家说“猴子是动物”的时候，会不会有人说“猴子这两个汉字居然是动物吗？”

判断一个语句究竟是不是命题常常要考虑到以下几点：

一、 在通常情况下理解各个符号的含义，比如说“x >1”，我们总是认为x 表示的是一个实数，因为实数可以比较大小；

二、 不要再有意或无意添加条件，比如说“x >1”，我们认为这个命题是错误的，因为这个结论并不是对所有的x值都成立，你不能有意无意改成“若x>2，那么x>1”；再比如说“1>2”这个命题是错误的，你不能改成“如果2>3，那么1>2。”；

三、 有时正确有时不正确的判断语句肯定是一个命题，而且是一个错误的命题。比如2006年安徽省高考数学理科卷中第四题提到“命题p：a=b，……”，a和b的关系有三种：a>b、a=b、a<b，究竟属于哪种关系要视两者的取值情况而定，因此，说“a=b”是一个命题是可以的，它有时是正确的，比如当“a-b=0”的时候。但这里并没有隐含着这个条件，所以它是错误的命题（实际上这个题目在逻辑上是有问题的，把“命题”二字改成“条件”就行了）；“x>1”和“2n+1是奇数”都属于这种情形。

四、 实际上命题就是对一件事情进行判断的语句，只要是在做判断，那就是命题，这样理解能更快地把握命题的本质。比如“x>1”就是在对x和1 的大小关系进行判断，“2n+1是奇数”就是在对2n+1是否奇数进行判断，安徽高考卷中的“a=b”就是在对a、b两数的大小关系进行判断，所以它们都是命题。

第十三条家规

女儿的的今年已经六岁了，和很多同龄人一样，她吃饭特别慢、写作业特别慢、贪玩、没有时间观念，哄骗也好，恫吓也好，无论怎样打击她都没有效果。

有一次，我带她上街吃早饭，她亲自点了两种点心：包子和油条，并且左手捏着包子，右手握着油条，吃了起来，仿佛吃得很香。我心中暗喜，立即不失时机地夸奖她说：嗬嗬，的的，你今天表现得真不错嘛，包子、油条一块儿吃啊！她也心安理得地接受了，并且一脸得意，很夸张地大嚼特嚼。

接下来，她一直在大嚼特嚼，小嘴一开一合。

仿佛一直吃得很香。

那天天气很好啊，那天是周末啊，那天是我难得抽出的一些空闲时间陪她上街吃早饭啊，所以我忍了又忍，直到二十分钟后。

二十分钟后，她左手的包子剩一半，右手的油条剩半截，而盘子里的一动没动。

那天天气真的很好，真的是一个难得的周末。

所以，我只好劝她说，的的，那个包子被你捏成饺子了，油条也被你挤成绳子了，不吃了吧？

立即得到她的点头首肯，但有一个附加条件，强烈要求到超市去买东西；那么好的天气，那么难得在一起的一个周末，我只好跟在她后面去了。

某天，在网上看到有人支招立个“家规”什么的；正好我那段时间正在看《父子宰相家书》《曾国藩家书》这两本书，感到桐城的张氏家族和湖南的曾氏家庭之所以能显赫发达，英才辈出，与他们严格的家教是不无关系的。因此，我对网友的建议深以为然，立即制定了十三条家规，制裁的对象只有一个人，那就是的的，条规森严，极富针对性，不过完成得好还有加分啊，少的一条加五分，最多一条可以加二十分；但具体什么内容，当时肯定是知道的，现在确实忘了。

当然，没有全忘，还记得最后一条，即第十三条。

每天一回家，我要做的一件事就是要问，的的，第十三条是什么？

每天吃饭前，我要做的一件事也是要问，的的，第十三条是什么？

每天睡觉前，我要做的一件事也是要问，的的，第十三条是什么？

的的的妈妈说，的的，妈妈每天听到的最不想听的一句话就是你爸爸说：的的，第十三条是什么？

每当这时，的的就会回答说，今天和爸爸KISS了没有？

然后，立即嘟起小嘴迎了上来。

哪怕她正在生气，这条家规也照样执行无误。

而其它十二条家规有的只执行了一次，有的连一次也没执行过就结束了它们的使命。

只有这一条，最后一条，第十三条家规，每天都要被执行若干次；而且还将继续被忠实地执行下去。

古城的气质

如果说有这样一座城市，她在历史上曾贡献了数位世界级的历史文化名人，那么您认为，这个城市应该具有怎样一种精神气质？

如果说有这样一座城市，她是久负盛名的药都酒乡，是享誉中外的五禽戏发源地，那么，您认为，这个城市应该具有怎样一种精神气质？

如果说有这样一座城市，她曾经长期是中国重要的道教文化中心，在这片土地上曾产生了老子、庄子和陈抟三位划时代的道家人物，那么，您认为，这个城市应该具有怎样一种精神气质？

如果说有这样一座城市，她在历史上的辉煌与灿烂如今都湮没在历史的尘埃里，不再光彩照人，那么，您认为，这个城市应该具有怎样一种精神气质？

这就是亳州，一座在先秦诸子那里受尽讥讽和嘲弄的城市，“揠苗助长”“朝三暮四”“守株待兔”“智子疑邻”“道听途说”等成语故事中的主角无不是生活在这片土地上的（宋人）。这反映了此地的民风是何等地天真！何等地拙朴！

这就是亳州，一座城市的下面都被掏空构筑成巨大的军事设施、只数十人来回摇旗呐喊便让城外的敌人望风而退的城市。那是何等的机智！何等的从容！

这就是亳州，一座曾让清朝桐城派文学家刘开无比惊奇和狂热迷恋的城市，在这个寓居于此的外地人眼里，亳州花开如云，遍地烟霞，“花前花后皆人家，家家种花如桑麻。”又有远游归来的游子临涡而赋：荫高树兮临曲阿,微风起今水增波。鱼颉颃兮鸟逶迤,雌雄鸣兮声相和。藻藻生兮散茎柯,春水繁兮发丹华……。那是何等的浪漫！何等地诗意！

这就是亳州，一座千百年来人人都能见到庄子在亲人的尸体旁鼓盆而歌的身影、嵇康临刑前从容抚琴的身影、刘伶携掘墓人出饮或裸体纵饮的身影的城市。那是何等的彻悟逍遥！何等地放浪形骸！

……

是的，拙朴与机智，浪漫与逍遥，这是古亳州人最值得引以为荣的气质。只有当整个城市都具有这种气质的时候，这个城市才能产生诸如老子、庄子、嵇康、刘伶这样的代表性人物；缺少了民众基础的气质，不可能成为一个城市的气质。我们可以想见，这些身着宽服大袖的古亳州人穿越云蒸霞蔚的芍药，来到涡河岸边，在三月的草地上抚琴高歌，或者在九月的晚风中开怀畅饮；他们俯仰天地之间，纵情乡野之中，笑谈世间的种种不义与肮脏。这无疑给后来的亳州筑起了一块精神的高地，在漫长的历史长河中里，这块高地一直高高地矗立着；在这里凝聚成的、散发出的这些在现世再难觅踪迹的、高贵的气质，将永远是现世及后世亳州人引颈以望的。

就象现在，我独坐城市一隅，眼光如此迷离地越过这个城市，却再难以到达涡河岸边，那些仿佛十分遥远的古代。

多亏了那些散落在历史长河中或繁或简的文字，无论它们来自信史还是野史，但都足以能够让我们从中揣测出一点古亳州人的气质和禀性。

一、《韩非子》记：宋襄公与楚人战于深谷上。宋人既成列矣，楚人未及济。右司马购强起而谏曰：“楚人众而宋人寡，请使楚人半涉未成列而击之，必败。”襄公曰：“寡人闻君子曰：不重伤，不擒二毛，不推人于险，不迫人于阨，不鼓不成列。今楚未济而击之，害义。请使楚人毕涉成阵， 而后鼓士进之。”右司马曰：“君不爱宋民，腹心不完，特为义耳！”公曰。“不返列，且行法！”右司马返列，楚人已成列撰阵矣。公乃鼓之，宋人大败，公伤股，三日而死，……”

这里记录的是历史上著名的楚宋泓水之战，发生地当属当时宋国的边境、涡河的支流泓水（今蒙城、柘城间）；《左传》、《公羊传》、《蒙城县志》等诸多资料亦有记载。这段史料中的主角宋襄王后来遭到了无数史学家的嘲讽，如韩非子评曰：此乃慕仁义之祸（《韩非子》），毛泽东更是斥为“蠢猪式的仁义” 。但是历史上的宋襄王究竟是怎样的一个人呢？他为什么会如此“蠢猪”呢？泓水之战带给后人有哪些启示呢？

宋国国君作为殷商遗族，是西周列国中分封地位最高的国君，自微子启（纣王的哥哥）始封以来，一直施行仁政；再加上国都商丘是商的发祥地，所以宋一直被当作礼制的典范受到各国的尊敬。但也因为举国恪守旧的礼制，所以民风拙朴古板，给外人留下了不少笑话。而且当时还普遍存在一国有难、多国相助的现象，相助的原因往往就是出于仁义，所谓师出有名。宋襄王就是在这样的背景中成长的，他在诸王子中排行不是老大，所以即位前，他一直竭力推辞并力推哥哥子鱼就位；但子鱼坚辞不就，所以宋襄王才当了宋的第十九代国君。

从上述记载来看，宋襄王在如此残酷的战争中却忠诚地遵守着关于战争的约定：不重伤（不伤害伤兵）、不擒二毛（不抓捕头发花白的老兵）、不鼓不成列（敌方没列好阵形不开战）以及不乘人之危（不推人于险，不迫人于阨）等。在宋襄王眼里，这场战争必须是一场绅士间的决斗，尽管自己的军力远远弱于敌方，但自己绝不偷袭，绝不乘人之危；《周礼》所描述的战争无不具备这些特点，但是随着时代的发展，尤其是泓水之战给时人及后来者极大的警示，商周以来的“礼义”战争观逐渐被人们抛弃，交战双方都不再“结日定地，各居一面，鸣鼓而战，不相诈”，而是为了获胜不择手段，各出奇谋诡计。这也反映了中国历史到了公元前600年前后，以信、仁、义为核心的贵族精神行将没落，仁义、道德全部变成遮人耳目的幌子， “古之伐国，不杀黄口，不获二毛，于古为义，于今为笑，古之所以为荣者，今之所以为辱也。”（《淮南子》），可谓世风日下，人心不古、尔虞我诈、诚信缺失、道德沦丧、弱肉强食等社会问题日渐突出，所以几十年后的孔子才会到亳州向老子问礼（亳州城内至今尚有问礼巷）并向天下宣讲礼乐仁义。

一国之国君尚如此迂腐教条，其治下的臣民可想而知，所以宋国的民风十分拙朴、古板，甚至到了迂腐可笑的地步。诸子百家中留下了许多关于宋人的笑话故事，如大家熟知的典故“揠苗助长”“朝三暮四”“守株待兔”“智子疑邻”“道听途说”“以讹传讹”“各自为政”“一传众咻”“生木造屋”“兰子献技” “郑昭宋聋”等等，故事的主角都是宋人。

亳州后来还有一位杰出的人物曹操，尽管小说或野史中将其描绘得十分奸诈狡猾，但我们从一些比较可靠的史书上可以了解到，曹操至少比他同时代的任何一个诸侯都要显得有信有仁有义，比如说以他的实力，他随时可以称帝，但他终生没有称帝；他完全有机会杀掉强劲的敌手关云长，但在知道留他不住的情形下把他放了；他在赤壁之战中很“呆气”地把战舰用铁链子和木板连在一起，几乎招致灭顶之灾；他所留下的诗词充满了对老百姓苦难生活的感怀和伤感。曹操的这种禀性，如果不能说和宋人一脉相承，那也至少是继承了其中的一部分。

所以，我们现在来看，以宋襄王以代表的宋人在拙朴古板至于迂腐可笑的背后，很多都是以信、仁、义为核心价值理念的处世观的支撑。没有长久的信、仁、义的浸渍和熏陶的国度，不可能产生宋襄王似的人物。这种拙朴，这种呆气，至少不是我们每个人都有资格进行讥笑的，您可以扪心自问。

二、

除了泓水之战中的宋襄王外，“揠苗助长”“守株待兔”等典故的主人公往往是在弄巧成拙，但是不是生活在这片土地上的人们就总是表现为呆笨呢？答案是否定的。在亳州城内，有一座被喻为“地下长城”的古代军事建筑——地下运兵道，现为国家级文物保护单位。目前发掘已知至少有四千米长，里面机关重重，据说，这是因为曹操驻守亳州城的兵力太少，所以他就挖了这条地道，从城里通向城外，把一小队军队从地道偷偷运出城外后，再从城外大摇大摆地进城，如此反复数次，给人一种军队源源不断在进行补充的错觉。

但是曹操的这一点机智与诸葛亮相比，还是脱不了一个拙朴：诸葛亮以一人、一琴和一扇洞开的城门，就吓退了司马氏的十万大军，如此轻巧；而曹操却费尽多少人力物力，才挖成一个地下运兵道，所达到的效果不会超过诸葛亮悠闲而悠扬的琴声。

所以，我怀疑曹操的这条地下道是不是用于军事目的，我更倾向于把曹操视为一个笨拙的行为艺术家：就象秦始皇是一个伟大的田野艺术家一样（这是我的观点，我认为秦始皇的万里长城的军事意义极弱，试想：他的长城都是建在险要之处，人迹罕至啊。有多少敌人能越过那些天然的屏障呢？我曾经说过，狗以尿迹来标示自己的势力范围，秦始皇撒不出足够的尿，所以他以万里长城来标示）。但不管怎样看待曹操，他的机智还是带着如前所述的拙朴的烙印。

机智是聪明的行为表现。在这片土地上，还有花木兰代父从军的机智，带着孝敦的烙印；还有华佗作为神医圣手的聪明，带着慈悲的烙印……

这是古亳州人的机智，与奸诈无关，与狡猾无关，与不择手段无关，与阴谋诡计无关。

三、